스토크스 정리 예제

$dlvf(x, y, z) = Stokes의 정리는 벡터 필드의 선 적분과 벡터 필드의 표면 적분과 관련이 있습니다. 위에서 설명한 표면 S와 벡터 필드 F=에 대한 스토크스의 정리를 확인합니다. 이 섹션에서는 그린의 정리의 더 높은 차원 버전인 정리를 살펴보겠습니다. 그린의 정리에서 우리는 일부 지역에 걸쳐 이중 정수에 라인 적분 관련. 이 섹션에서는 선 적분과 서피스 적분과 관련시다. 그러나 정리를 제공하기 전에 먼저 줄에 사용할 곡선을 정의해야 합니다. 이 두 가지 예에서 우리는 다루기가 다소 불쾌했을 일체형이 었으며, 스토크스의 정리를 사용하여 너무 나쁘지 않은 통합으로 변환할 수 있었습니다. 해결책: 선 적분이 주어지고 스토크스의 정리를 사용하도록 말했기 때문에 표면 정수 begin{정렬*} sint{dls}{curl dlvf}, end{align*} 여기서 $dls$가 경계 $dlc$가 있는 서피스입니다. 우리는 $dlc$가 긍정적으로 지향적인 경계가 되도록 표면 $dls$를 자유롭게 선택할 수 있습니다. 예제 계속: begin{align*} = dlvf(x, y, z) = 왼쪽(sin x – frac{y^3}{3}, cos y + frac{x^3}{3}, xyz right) end{align*} [$dlint$]. Stokes의 정리를 사용하여 다음 줄에 적분으로 표면 적분적을 작성할 수 있습니다.

스토크스의 정리는 벡터 필드의 컬의 표면 적분과 표면의 경계 주위의 벡터 필드의 일체형에 관한 것입니다. 스토크스의 정리에 대한 기본 아이디어와 표면의 방향과 경계가 일치하는지 확인하는 방법을 검토한 후, 이 예제에서 스토크스의 정리가 작동하는지 확인하십시오. 이 정리에서 서피스 (S)는 경계 곡선이 (C)에 의해 지정되는 한 실제로 모든 서피스가 될 수 있습니다. 이것은 경우에 표면 적분 단순화하기 위해 우리의 이점에 사용할 수있는 무언가이다. 이것이 비교적 쉬운 한 가지 특별한 경우는 $ dlc $가 비행기에 있을 때입니다. 이 평면은 다음 예제와 같이 좌표 평면과 평행한 경우에 특히 쉽습니다. (이 예제에서는 작동하지 않지만 $dls$를 선택하는 방법에 대해 설명합니다.) 우리는 종종 우리가 위에서했던 것처럼 스토크의 정리 문제를 제시. 우리는 곡선을 제공 $dlc$와 경계 $dlc$와 일부 표면 $dls$에 걸쳐 표면 적분 계산 을 기대 합니다.

일반적으로 많은 표면을 선택할 수 있습니다. (이 애플릿을 참조하십시오.) 그러나 때로는 “분명히”가장 좋은 표면이 있습니다. Stokes의 정리를 사용하여 $dlc$가 다음 지점을 연결하는 다각형 경로인 $dlint$를 계산하려고 한다고 가정해 보겠습니다: (1,1,0), (3,1,4), (1,1,5), (-1,1,1,1) 단위 법선 벡터를 양수 z 구성요소로 S로 나타내도록 합니다. Z 평면과 S의 교차점은 원 x^2+y^2=16입니다. C는 시계 반대 방향으로 통과한 원을 나타냅니다. F가 S를 포함하는 일부 영역에서 연속 부분 미분이 있는 벡터 필드인 경우, 스토크스의 정리 상태 따라서, begin{align*} dlint = frac{pi}{4} end{align*} 이제 우리는 우리가 스토크스의 정리를 줄 수있는 방법에서이 곡선 정의를 가지고있다.

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