선형화 예제

(x=0)에서 (f(f(x)==(1+x)^4)의 선형 근사치를 이전 예제의 결과를 사용하지 않고 찾습니다. 선형 근사치는 뿌리와 힘을 추정하는 데 사용될 수 있습니다. 다음 예제에서는 (f(x)==(1+x)^n에 대한 선형 근사치를 (x=0)에서 찾을 수 있으며, 이 경우 1에 가까운 실제 숫자에 대한 루트와 전력을 추정하는 데 사용할 수 있습니다. 동일한 아이디어를 (f(x)=(m+x)^) 양식의 함수로 확장하여 다른 숫자 (m)에 가까운 루트와 권한을 추정할 수 있습니다. 선형화를 사용하면 선형 시스템을 연구하기 위한 도구를 사용하여 지정된 점 근처의 비선형 함수의 동작을 분석할 수 있습니다. 함수의 선형화는 관심 지점을 중심으로 테일러 확장의 첫 번째 순서 용어입니다. 방정식에 의해 정의된 시스템의 경우 측정 오류 dx(=(Δx))와 전파된 오차 (Δy)는 절대 오차입니다. 우리는 일반적으로 측정또는 계산되는 수량의 크기에 비해 오류의 크기에 관심이 있습니다. 특정 수량에 대한 절대 오차 (Δq)가 주어지면 상대 오차를 (frac{Δq}{q})로 정의하며, 여기서 (q)는 수량의 실제 값입니다. 백분율 오차는 백분율로 표현된 상대 오차입니다. 예를 들어 실제 높이가 62in인 경우 사다리의 높이를 63in으로 측정하는 경우 절대 오차는 1in이지만 상대 오차는 (frac{1}{62}=0.016) 또는 (1.6%)입니다.

비교하여, 실제 너비가 8in일 때 판지 조각의 너비를 8.25in으로 측정하는 경우, 우리의 절대 오차는 (frac{1}{4})인 반면, 상대오차는 (frac{0.25}{8}\{1{32})또는 (3.1%)의 오차입니다. 0.25in이 1in 보다 적더라도 골판지의 측정은 더 큽습니다. 따라서 접선선은 (f(2.1))(그림(b))의 근사치를 상당히 잘 제공합니다. 그러나 2에서 멀리 떨어진 x 값의 경우 접선 방정식이 우리에게 좋은 근사치를 제공하지 는 않습니다. 예를 들어(x=10)인 경우 접선에 있는 해당 점의 (y) 값은 선형화는 모든 변수에 대해 비선형 함수의 그라데이션을 취하고 해당 지점에서 선형 표현을 만드는 프로세스입니다. 안정성 해석, Laplace 변환이 있는 솔루션 및 선형 상태 공간 형식으로 모델을 배치하는 것과 같은 특정 유형의 해석에 필요합니다. 입력 수식및 출력 y가 있는 균형 방정식에서 파생되는 비선형 미분 방정식 모델을 고려합니다. 예를 들어(a=2)에서 (f(f(x)=frac{1}{x})의 함수를 생각해 보십시오. (f)는 (x=2) 및 (f`(x)=\\\\에서 구별될 수 있기 때문에(f`(2)=-\2})를 볼 수 있습니다. 따라서 (a=2)의 (f)의 그래프에 접선선은 수식 그림(a)에 의해 주어지며(f(f)==frac{1{1{{x})의 그래프와 함께 (f)에서 (f)에 접선선을 표시합니다. (x) 근처의 경우 접선 그래프가 (f)의 그래프에 가깝습니다.

결과적으로 접선 방정식을 사용하여 2 근처의 (x)에 대해 (f(x)를 근사화할 수 있습니다. 예를 들어, (x=2.1), 접선에 있는 해당 점의 (y) 값이 다음 예에서 인 경우, 측면 길이의 측정이 이루어지고 있다고 가정할 경우 상자의 부피를 계산하는 데 차이를 추정하는 데 어떻게 차등 오차를 사용할 수 있는지 살펴봅니다. 어느 정도의 정확도를 지니고 있습니다.

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